Descrição e análise de dados · teoria dos conjuntos

Terminei o capítulo de estatística em dez minutos. Média todo mundo sabe fazer, uai. Todo mundo sabe fazer... até a banca desenhar o gráfico do jeito errado.

Como assim errado? Imagina um gráfico de colunas com autuações por mês. Uma coluna baixinha, outra bem mais alta do lado — parece o triplo.

Beleza, aí eu olho e falo: aumentou umas duzentos por cento. Só que eu não te disse onde começa o eixo Y. Pera... isso muda a conta?

Muda tudo. Guarda essa pergunta, porque a resposta é a pegadinha mais perigosa desse episódio. Tá, guardado.

Mas então hoje não é só decorar fórmula de média. Hoje é ler tabela, ler gráfico, tirar média direito e não se perder no meio de conjunto. O que separa quem resolve rápido de quem trava lendo o enunciado duas vezes.

Fechado. Começa pela tabela então, que isso eu acho que domino. Tabela tem cabeçalho, corpo de dados e às vezes uma linha de total.

A armadilha clássica é o candidato somar o total junto com os parciais. Tipo, três regiões com quarenta, trinta e cinco e vinte e cinco autuações, e aí tem uma linha escrito cem embaixo. Exatamente essa cena.

Quarenta mais trinta e cinco mais vinte e cinco dá cem. Se você soma esse cem de novo, dobra o resultado. Aham.

Antes de calcular qualquer coisa eu preciso saber: o que cada coluna representa, se é valor absoluto ou percentual, e se tem nota de rodapé restringindo o período. Isso. E com gráfico o cuidado muda de tipo.

Coluna você compara altura. Linha você olha tendência ao longo do tempo. Pizza, a soma das fatias sempre fecha em cem por cento.

E o tal do histograma? Parece coluna, mas o eixo X é contínuo, são classes de intervalo — por isso não tem espaço entre as barras. Um prato cheio de detalhe pra confundir quem lê rápido.

E o eixo Y truncado é o rei da confusão. Guarda isso, já volto nele. Beleza, vou pra média então, que essa eu calculo dormindo.

Média aritmética simples é soma dos termos dividida pelo número de termos. Cinco policiais atenderam 4, 6, 8, 10 e 12 ocorrências — soma é 40, dividido por 5 resulta em média igual a 8 ocorrências. Fácil.

Agora testa: se cada um receber mais 2 ocorrências, qual é a nova média? Hum... deixa eu pensar. Se soma constante a todo mundo, a média sobe a mesma constante.

Então vira 10? Isso. Oito mais dois, dez.

É propriedade que a banca adora testar sem te avisar. Boa. Mas peraí, e quando os valores têm peso diferente?

Tipo prova com peso maior? Aí é média ponderada: soma dos produtos valor vezes peso, dividida pela soma dos pesos. Vou fazer papel de advogada do diabo aqui: pra que complicar se no fim das contas são só duas médias juntas?

Porque o resultado muda. Duas provas com pesos 2 e 3, notas 6 e 9. Numerador: 6 vezes 2 mais 9 vezes 3, igual a 12 mais 27, igual a 39.

Denominador: 2 mais 3, igual a 5. Média ponderada igual a 39 dividido por 5, igual a 7,8. E se eu fizer simples, ignorando peso?

Dá 7,5. É outro número. A banca costuma nem falar que os pesos não somam dez, só pra empurrar você pra divisão errada.

Sacanagem. Faz parte. Agora, mediana.

Chuta: pra o conjunto 1, 2, 3 e 100, qual é maior, a média ou a mediana? A média, com certeza, esse 100 vai puxar ela lá pra cima. Exato.

Os dois centrais são 2 e 3, mediana é 2,5. A média é 106 dividido por 4, igual a 26,5. Ah, então é por isso que a mediana é resistente a valor extremo e a média não.

Isso mesmo. E é justamente aí que a banca troca as duas palavras no enunciado pra te confundir. Pergunta pediu mediana, eu calculei média, e me lasquei.

É o erro mais bobo e mais comum desse assunto. E o desvio, isso mede o quê mesmo? Dispersão.

Quanto os dados se espalham em torno da média. Desvio médio é a média dos módulos das diferenças entre cada valor e a média. Não precisa ir no cálculo fundo, né?

Isso é raso na prova. Raramente pedem conta de variância ou desvio padrão. Mas cai a interpretação: maior desvio padrão significa maior dispersão.

Ponto. E falando em espalhar dados por aí... tem outra parte que também é sobre juntar e separar coisas: conjunto. É vocabulário simples.

Elemento pertence a um conjunto, subconjunto está contido nele. Peraí, como assim, dois é diferente de chave dois? O número 2 pertence ao conjunto 1, 2, 3.

Mas o conjunto formado só pelo 2 está contido nele — ele não pertence, ele é subconjunto. Então a banca troca pertence por está contido de propósito. Toda hora.

E o conjunto vazio, lembra, é subconjunto de qualquer conjunto, porque não tem nenhum elemento pra violar essa regra. Certo. E as operações, união e interseção?

União é tudo que está em A, em B, ou nos dois. Interseção é só quem está nos dois ao mesmo tempo. Antes de calcular, desenha o diagrama de conjuntos, os circulinhos, pra não contar ninguém duas vezes.

Imagina a cena: pesquisa com cinquenta policiais, trinta usam colete, vinte usam rádio, dez usam os dois. Pode mandar. Quantos usam só colete?

Total de colete menos quem usa os dois. Trinta menos dez, igual a vinte. E se eu quiser saber quantos usam colete ou rádio, pelo menos um dos dois?

Fórmula da união: A mais B menos A intersectado com B. Trinta mais vinte menos dez, igual a quarenta. E com três grupos, tipo suspeitos flagrados em zona A, B ou C?

Aí soma os três, tira as três interseções duas a duas — A com B, A com C, B com C — e no final soma de volta quem está nos três ao mesmo tempo. Por que soma de volta a tripla? Porque ao subtrair as três duplas, você tirou demais quem está nos três grupos ao mesmo tempo.

A banca adora esconder exatamente essa última parcela. Boa, acho que peguei o jeito. Bora pro quadro?

Vamos ver. Em uma tabela com três regiões, totais parciais de 40, 35 e 25 autuações, o total geral é 100 autuações. Certo.

Soma simples dos parciais, sem contar a linha de total de novo. Se cada um dos cinco policiais receber mais 2 ocorrências, a nova média passa a ser 10. Certo.

Oito mais dois, dez, igual a gente calculou. A média ponderada é igual à média simples das duas notas, que seria 7,5. Errado.

Só coincidem quando os pesos são iguais. Aqui deu 7,8, não 7,5. Para o conjunto 1, 2, 3 e 100, a mediana é 2,5 e a média é 26,5, mostrando que valor extremo afeta mais a média.

Certo. Exatamente o que a gente acabou de ver. No conjunto 3, 5, 5, 7, 9, 9, a moda é 5.

Errado. Cinco e nove aparecem duas vezes cada, o conjunto é bimodal. O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto.

Certo. Por definição. Em uma turma de 30 candidatos, 18 estudaram português, 15 estudaram matemática, 8 estudaram ambas.

Então 25 estudaram pelo menos uma das duas. Certo. 18 mais 15 menos 8, 25.

Se as autuações passaram de 200 em janeiro para 250 em fevereiro, houve aumento de vinte e cinco por cento. Certo. 250 menos 200, dividido por 200, vezes 100, vinte e cinco por cento.

Beleza, agora resolve logo o meu gráfico, que eu já não aguento mais esperar. Duas barras. A maior parece o triplo da menor.

Mas o eixo Y começa em 80, não em zero. E aí a variação real é de quanto? Poucos pontos percentuais.

Nada perto dos duzentos por cento que o olho enxerga. Duzentos por cento? DUZENTOS por cento na aparência.

Na conta de verdade, quase nada. Eu ia marcar certo direto olhando a barra. E era exatamente isso que a banca queria.

Então recapitulando: primeiro, tabela com total — nunca soma o total junto dos parciais. Segundo, todo gráfico merece um segundo antes de comparar altura — confere o eixo antes de confiar no olho. Terceiro, mediana e média não são a mesma coisa — outlier puxa a média, a mediana fica no lugar.

E a pegadinha final é a soma de tudo isso: gráfico com eixo truncado mais percentual de variação. Duas barras, uma parecendo o triplo da outra. Mas o eixo começa em oitenta, não em zero.

Sempre leia o eixo antes de comparar altura visualmente. Essa é a diferença entre acertar rápido e cair na primeira olhada.