Funções: equações do 1º/2º graus e sistemas

Brito, pode fechar o caderno. Eu decorei a fórmula de Bhaskara de trás pra frente essa semana. Terminei matemática.

Ah, é? Então me responde uma coisa, sem fazer nenhuma conta. Eu te dou duas equações, com x e y.

Você me diz, só de olhar, se esse sistema tem solução única, se é impossível, ou se tem infinitas soluções. Peraí... só de olhar? Sem resolver nada?

Sem resolver nada. E é exatamente isso que a Cebraspe cobra na prova. Então minha fórmula decorada não vale nada?

Vale, mas é a menor parte do jogo. Antes da fórmula vem a leitura. Vamos por partes.

Tá, mas eu quero saber logo dessa história do sistema. Fica no ar. Vai ficar mesmo, um pouquinho.

Primeiro a base: modelagem é traduzir o enunciado pra matemática. Você lê o problema, chama o que não sabe de x, monta a equação, e só depois calcula. E se eu pular direto pra conta, sem montar nada?

Aí você erra sistematicamente. É o erro número um: operar os números soltos sem estrutura algébrica. A banca marca isso como errado até quando a conta final bateria por acaso.

Então definir a variável não é frescura, é etapa obrigatória. Exatamente. Agora pensa no painel do seu carro na BR.

O velocímetro sobe numa reta constante — isso é função afim, primeiro grau. Freou forte? A curva de frenagem que o carro desenha até parar é uma parábola, segundo grau.

E se eu atrasei uma multa? O valor cresce feito bola de neve, isso é exponencial. E se você quer calcular há quantos dias ela venceu, olhando só o valor atual, você usa o inverso disso — o logaritmo.

Painel do carro: reta, curva e bola de neve. Gostei, isso eu não esqueço. Guarda esse painel, a gente volta nele.

Bora pro sistema então. Cadê minha resposta? Calma.

Sistema linear dois por dois é isso: duas equações, duas incógnitas, x e y. Você resolve por substituição, isolando uma variável numa equação e jogando na outra, ou por adição, multiplicando as equações pra cancelar uma delas. Isso eu sei fazer.

O que eu não sei é enxergar sem fazer conta. Então olha esse exemplo do material: o sistema formado por dois x mais quatro y igual a oito, e x mais dois y igual a cinco. Isso é impossível.

Impossível? Como assim, elas parecem até parecidas. São parecidas de propósito.

Multiplica a segunda equação toda por dois: o x vira dois x, o dois y vira quatro y, e o cinco vira dez. Fica dois x mais quatro y igual a dez. Só que a primeira diz que dois x mais quatro y é igual a oito.

Peraí, então a mesma soma não pode valer oito numa e dez na outra. Isso. As retas são paralelas, nunca se cruzam.

Impossível. Impossível? Impossível.

Tá, agora entendi de verdade. Mas e se, em vez de dez, desse oito também? Aí seria a mesma reta desenhada duas vezes.

Sistema indeterminado, com infinitas soluções. Então a diferença entre impossível e indeterminado tá só nessa constante final batendo ou não batendo. Isso mesmo.

Coeficientes proporcionais sempre, mas constante diferente é impossível, constante igual é indeterminado. A Cebraspe adora trocar um pelo outro na hora de escrever a questão. Ok, decorado.

Impossível quando as constantes brigam, indeterminado quando elas concordam. E olha que interessante: você resolveu isso sem tocar em fórmula nenhuma. Só olhando a proporção.

Cadê minha fórmula de Bhaskara então? Ela não serve pra nada hoje? Serve, mas às vezes tem atalho até ali.

Equação do segundo grau é a x ao quadrado mais b x mais c igual a zero, com a diferente de zero. A fórmula de Bhaskara — b, h, a, s, k, a, r, a, matemático indiano — resolve: x igual a menos b mais ou menos a raiz quadrada de b ao quadrado menos quatro a c, tudo dividido por dois a. E o delta ali dentro da raiz decide o quê?

O discriminante, delta igual a b ao quadrado menos quatro a c. Delta maior que zero, duas raízes reais distintas. Delta igual a zero, uma raiz dupla.

Delta menor que zero, sem raiz real. Beleza, isso eu já mandava de olhos fechados. Onde entra o atalho?

As relações de Girard, também chamadas de fórmulas de Vieta. Soma das raízes igual a menos b sobre a, produto das raízes igual a c sobre a. Olha o exemplo do quadro: x ao quadrado menos cinco x mais seis igual a zero.

Deixa eu tentar. Soma seria menos de menos cinco sobre um, que dá cinco. E produto, seis sobre um, que é seis.

Isso, sem abrir Bhaskara nenhuma vez. Ah, então é por isso que às vezes a banca só pede soma e produto: ela quer ver se eu conheço o atalho, não se decorei a fórmula grande. Exato.

E é mais rápido em prova cronometrada. Beleza, sistema e segundo grau eu já domino. Vamos pra função, que aí eu sempre me perco entre domínio, contradomínio e imagem.

Função de A em B associa cada elemento de A a exatamente um elemento de B. Domínio é o conjunto de entrada. Contradomínio é o conjunto de chegada declarado.

Imagem é só o que a função de fato atinge lá dentro. Então imagem é sempre igual ao contradomínio? Não.

A imagem tá contida no contradomínio, mas pode ser menor. Eles só coincidem quando a função é sobrejetora. Peraí, dá um exemplo, porque isso na teoria parece óbvio e na prova me confunde todo.

Pensa na função exponencial do nosso painel. O contradomínio declarado pode ser todos os reais, mas a imagem de verdade é só os positivos. Nenhum valor negativo, nunca zero.

Ah, então o contradomínio é a garagem inteira, e a imagem é só a fileira de carros que realmente tá estacionada ali. Boa imagem. Literalmente.

Ok, voltando pro painel: velocímetro é a função afim, y igual a a x mais b. Se a for positivo? Crescente.

Se a for negativo, decrescente. Se a for zero, é caso degenerado, função constante. E o zero da função, onde a reta corta o eixo x, é x igual a menos b sobre a.

Tem um item do quadro sobre isso, deixa eu ler: a função f de x igual a menos dois x mais oito é decrescente e seu zero é x igual a quatro. Certo. Coeficiente angular menos dois, negativo, então decrescente.

E menos dois x mais oito igual a zero dá x igual a quatro. Rapidinho assim, sem nenhuma pegadinha escondida? Nenhuma.

Às vezes o item certo é só certo mesmo. E na parábola, a curva de frenagem do nosso painel, como fica mínimo e máximo? Concavidade pra cima, a maior que zero, tem ponto de mínimo no vértice.

Concavidade pra baixo, a menor que zero, tem ponto de máximo. O x do vértice é menos b sobre dois a. Tem um item exatamente assim: f de x igual a x ao quadrado menos quatro x mais três tem valor mínimo igual a menos um, atingido em x igual a dois.

Certo. X do vértice é menos de menos quatro sobre dois vezes um, que dá dois. Substituindo, quatro menos oito mais três dá menos um.

Como a é maior que zero, é mínimo mesmo. E se a questão tivesse dito 'valor máximo igual a menos um'? Aí seria errado, porque a concavidade pra cima só dá mínimo, nunca máximo.

Anotado: sinal de a manda no mínimo ou máximo, sem exceção. E olha só, tem um item ainda mais direto: se o gráfico de uma função é uma parábola com concavidade voltada para baixo, então essa função possui um ponto de máximo. Isso é certo, porque concavidade pra baixo já garante o máximo, independente de qualquer conta.

Perfeito. Agora fecha o painel comigo: a exponencial, bola de neve da multa. Base maior que um cresce, base entre zero e um decresce.

Tem um item pra testar isso: f de x igual a um meio elevado a x é crescente. Errado. Base um meio tá entre zero e um, então é decrescente.

E o logaritmo, que era o cálculo de volta, de quantos dias a multa venceu? Ele é o inverso da exponencial. Domínio só aceita entrada positiva, porque não existe log de número negativo nem de zero.

Tem esse item aqui: o domínio da função f de x igual a logaritmo na base dois de x menos três é o conjunto dos reais maiores que três. Certo. O argumento do log tem que ser positivo: x menos três maior que zero, logo x maior que três.

Ok, painel do carro fechado: velocímetro, frenagem e a multa que cresce — com o log fazendo o caminho de volta. Isso. Agora uma aplicação clássica de prova: encontro de veículos.

Tem esse item: dois veículos partem simultaneamente de cidades A e B, distantes trezentos quilômetros, em direção um ao outro, com velocidades de oitenta quilômetros por hora e setenta quilômetros por hora respectivamente. Eles se encontrarão após aproximadamente duas horas. Certo.

Velocidade de aproximação soma as duas: oitenta mais setenta dá cento e cinquenta quilômetros por hora. Tempo é distância dividida pela velocidade: trezentos dividido por cento e cinquenta dá duas horas exatas. E se eu não tivesse certeza da conta, dava pra checar de outro jeito?

Dá. Última dica do material: se a solução vier pronta, tipo x igual a três e y igual a menos um, você substitui direto nas equações originais em vez de refazer tudo do zero. É mais rápido verificar do que resolver.

Isso economiza um tempo enorme numa prova cronometrada. Segundos que decidem questão. Testei tudo que eu queria.

Bora pro quadro, me dá o gabarito na hora. Manda ver. Para resolver um problema de modelagem, basta identificar os valores numéricos do enunciado e operálos diretamente, sem necessidade de definir variáveis.

Errado. Definir a incógnita é etapa essencial; sem ela você erra sistematicamente. A equação três x menos nove igual a zero tem como solução x igual a três.

Certo. Isolando x: três x igual a nove, logo x igual a nove dividido por três, que é três. O sistema formado por dois x mais quatro y igual a oito e x mais dois y igual a cinco é impossível.

Certo. Já resolvemos esse: constantes não batem, retas paralelas, sem solução. Na equação x ao quadrado menos cinco x mais seis igual a zero, a soma das raízes é cinco e o produto é seis.

Certo. Girard direto: soma cinco, produto seis. A imagem de uma função é sempre igual ao seu contradomínio.

Errado. Imagem é subconjunto, pode ser menor que o contradomínio declarado. Ótimo, eu tô mandando bem nisso agora.

Tá craque. Vamos fechar então. Três pontos pra levar.

Ponto um: modelagem é traduzir o enunciado em linguagem matemática antes de calcular qualquer coisa. Ponto dois: no sistema linear, olhe a proporção dos coeficientes antes de resolver. Constantes diferentes é impossível, constantes iguais é indeterminado.

Ponto três: no segundo grau, Girard resolve soma e produto sem precisar abrir Bhaskara. E no gráfico, o sinal de a decide tudo: mínimo ou máximo, crescente ou decrescente. E o painel do carro segura tudo isso junto: velocímetro, frenagem e a multa crescendo — com o log fazendo o caminho de volta.

Isso. Agora a pegadinha final: a banca adora trocar imagem por contradomínio, trocar crescente por decrescente quando a base é menor que um ou o coeficiente é negativo, e trocar mínimo por máximo conforme o sinal de a na parábola. E em sistema, troca impossível por indeterminado, ou o contrário.

Exatamente. Então, lembra do desafio lá do começo? Duas equações, sem fazer conta nenhuma.

Agora eu sei: olho se os coeficientes são proporcionais, e depois se as constantes concordam ou brigam. Impossível ou indeterminado, na hora, sem tocar em fórmula. Aí sim.

Fórmula decorada só fecha o serviço; quem lê a estrutura primeiro é quem passa.