Equações do 1º e 2º Graus, Sistemas Lineares e Funções

Brito, pode fechar o caderno. Eu decorei a fórmula de Bhaskara de trás pra frente essa semana. Terminei matemática.

Ah é? Então me responde uma coisa, sem fazer nenhuma conta. Eu te dou duas equações com X e Y.

Você me diz, só de olhar, se esse sistema tem solução única, se é impossível ou se tem infinitas soluções. Pera aí, só de olhar? Sem resolver nada?

Sem resolver nada. E é exatamente isso que a Cebraspe cobra na prova. Então minha fórmula decorada não vale nada?

Vale, mas é a menor parte do jogo. Antes da fórmula, vem a leitura. Vamos por partes.

Tá, mas eu quero saber logo dessa história do sistema. Fica no ar. Vai ficar mesmo, um pouquinho.

Primeiro a base. Modelagem é traduzir o enunciado pra matemática. Você lê o problema, chama o que não sabe de X, monta a equação e só depois calcula.

E se eu pular direto pra conta, sem montar nada? Aí você erra sistematicamente. É o erro número um: operar os números soltos sem estrutura algébrica.

A banca marca isso como errado até quando a conta final bateria por acaso. Então definir a variável não é frescura, é etapa obrigatória. Exatamente.

Agora pensa no painel do seu carro na BR. O velocímetro sobe numa reta constante. Isso é função afim, primeiro grau.

Freou forte? A curva de frenagem que o carro desenha até parar é uma parábola, segundo grau. E se eu atrasei uma multa?

O valor cresce feito bola de neve. Isso é exponencial. E se você quer calcular a quantos dias ela venceu, olhando só o valor atual, você usa o inverso disso, o logaritmo.

Painel do carro: reta, curva e bola de neve. Gostei, isso eu não esqueço. Guarda esse painel, a gente volta nele.

Bora pro sistema, então. Cadê minha resposta? Calma.

Sistema linear dois por dois é isso. Duas equações, duas incógnitas, X e Y. Você resolve por substituição, isolando uma variável numa equação e jogando na outra.

Ou por adição, multiplicando as equações pra cancelar uma delas. Isso eu sei fazer. O que eu não sei é enxergar sem fazer conta.

Então olha esse exemplo do material. O sistema formado por 2X mais 4Y igual a oito e X mais 2Y igual a cinco. Isso é impossível.

Impossível? Como assim? Elas parecem até parecidas.

São parecidas de propósito. Multiplica a segunda equação toda por dois. O X vira 2X, o 2Y vira 4Y e o cinco vira dez.

Fica 2X mais 4Y igual a dez. Só que a primeira diz que 2X mais 4Y é igual a oito. Pera aí, então a mesma soma não pode valer oito numa e dez na outra.

Isso, as retas são paralelas, nunca se cruzam. Impossível. Impossível?

Impossível. Tá, agora entendi de verdade. Mas e se em vez de dez, desse oito também?

Aí seria a mesma reta desenhada duas vezes. Sistema indeterminado com infinitas soluções. Então a diferença entre impossível e indeterminado tá só nessa constante final batendo ou não batendo?

Isso mesmo. Quotientes proporcionais sempre, mas constante diferente é impossível, constante igual é indeterminado. A Cebraspe adora trocar um pelo outro na hora de escrever a questão.

Ok, decorado. Impossível quando as constantes brigam, indeterminado quando elas concordam. E olha que interessante, você resolveu isso sem tocar em fórmula nenhuma, só olhando a proporção.

Cadê minha fórmula de Bhaskara então? Ela não serve pra nada hoje? Serve, mas às vezes tem atalho até ali.

Equação do segundo grau é AX ao quadrado, mais BX, mais C, igual a zero, com a diferente de zero. A fórmula de Bhaskara, B-H-A-S-K-A-R-A, matemático indiano, resolve: X igual a menos B, mais ou menos A raiz quadrada de B ao quadrado, menos quatro a C, tudo dividido por dois A. E o delta ali dentro da raiz decide o quê?

O discriminante: delta igual a B ao quadrado, menos quatro a C. Delta maior que zero, duas raízes reais distintas. Delta igual a zero, uma raiz dupla.

Delta menor que zero, sem raiz real. Beleza, isso eu já mandava de olhos fechados. Onde entra o atalho?

As relações de girar, também chamadas de fórmulas de Vieta. Soma das raízes igual a menos B sobre A, produto das raízes igual a C sobre A. Olha o exemplo do quadro: X ao quadrado menos cinco X mais seis igual a zero.

Deixa eu tentar. Soma seria menos de menos cinco sobre um, que dá cinco. E produto seis sobre um, que é seis.

Isso, sem abrir Bhaskara nenhuma vez. Ah, então é por isso que às vezes a banca só pede soma e produto. Ela quer ver se eu conheço o atalho, não se decorei a fórmula grande.

Exato, e é mais rápido em prova cronometrada. Beleza, sistema e segundo grau eu já domino. Vamos para a função, que aí eu sempre me perco entre domínio, contradomínio e imagem.

Função de A em B associa cada elemento de A a exatamente um elemento de B. Domínio é o conjunto de entrada. Contradomínio é o conjunto de chegada declarado.

Imagem é só o que a função de fato atinge lá dentro. Então imagem é sempre igual ao contradomínio? Não, a imagem tá contida no contradomínio, mas pode ser menor.

Ele só coincidem quando a função é sobrejetora. Peraí, dá um exemplo, porque isso na teoria parece óbvio e na prova me confunde todo. Pensa na função exponencial do nosso painel.

O contradomínio declarado pode ser todos os reais, mas a imagem de verdade é só os positivos, nenhum valor negativo, nunca zero. Ah, então o contradomínio é a garagem inteira e a imagem é só a fileira de carros que realmente tá estacionada ali. Boa imagem, literalmente.

Ok, voltando pro painel. Velocímetro é a função afim: Y igual a AX mais B. Se A for positivo?

Crescente. Se A for negativo, decrescente. Se A for zero, é caso degenerado, função constante.

E o zero da função, onde a reta corta o eixo X, é X igual a menos B sobre A. Tem um item do quadro sobre isso. Deixa eu ler.

A função F de X, igual a menos dois X mais oito, é decrescente e seu zero é X igual a quatro. Certo. Coeficiente angular menos dois, negativo, então decrescente.

E menos dois X mais oito igual a zero, dá X igual a quatro. Rapidinho assim, sem nenhuma pegadinha escondida? Nenhuma.

Às vezes, o item certo é só certo mesmo. E na parábola, a curva de frenagem do nosso painel, como fica mínimo e máximo? Concavidade pra cima, a maior que zero, tem ponto de mínimo no vértice.

Concavidade pra baixo, a menor que zero, tem ponto de máximo. O xis do vértice é menos b sobre dois a. Tem um item exatamente assim: F de x igual a x ao quadrado menos quatro x mais três, tem valor mínimo igual a menos um, atingido em x igual a dois.

Certo, x do vértice é menos de menos quatro sobre dois vezes um, que dá dois. Substituindo, quatro menos oito mais três dá menos um. Como a é maior que zero, é mínimo mesmo.

E se a questão tivesse dito valor máximo igual a menos um? Aí seria errado, porque a concavidade pra cima só dá mínimo, nunca máximo. Anotado.

Sinal de a manda no mínimo ou máximo, sem exceção. E olha só, tem um item ainda mais direto. Se o gráfico de uma função é uma parábola com concavidade voltada para baixo, então essa função possui ponto de máximo.

Isso é certo, porque concavidade pra baixo já garante o máximo, independente de qualquer conta. Perfeito. Agora fecha o painel comigo.

A exponencial, bola de neve da multa. Base maior que um, cresce. Base entre zero e um, decresce.

Tem um item pra testar isso. F de x igual a um meio elevado a x, é crescente. Errado.

Base um meio tá entre zero e um, então é decrescente. E o logaritmo, que era o cálculo de volta, de quantos dias a multa venceu? Ele é o inverso da exponencial.

Domínio só aceita entrada positiva, porque não existe log de número negativo nem de zero. Tem esse item aqui. O domínio da função F de X, igual a logaritmo na base dois, de X menos três, é o conjunto dos reais maiores que três.

Certo. O argumento do log tem que ser positivo. X menos três, maior que zero, logo, xis maior que três.

Ok, painel do carro fechado. Velocímetro, frenagem e a multa que cresce, com o log fazendo o caminho de volta. Isso.

Agora uma aplicação clássica de prova, encontro de veículos. Tem esse item: dois veículos partem simultaneamente de cidades A e B, distantes trezentos quilômetros, em direção um ao outro, com velocidade de oitenta quilômetros por hora e setenta quilômetros por hora, respectivamente. Eles se encontrarão após, aproximadamente, duas horas.

Certo. Velocidade de aproximação soma as duas. Oitenta mais setenta dá cento e cinquenta quilômetros por hora.

Tempo é distância dividida pela velocidade. Trezentos dividido por cento e cinquenta, dá duas horas exatas. E se eu não tivesse certeza da conta, dava pra checar de outro jeito?

Dá. Última dica do material. Se a solução vier pronta, tipo X igual a três e Y igual a menos um, você substitui direto nas equações originais, em vez de refazer tudo do zero.

É mais rápido verificar do que resolver. Isso economiza um tempo enorme numa prova cronometrada. Segundos que decidem questão.

Testei tudo que eu queria. Bora pro quadro, me dá o gabarito na hora. Manda ver.

Para resolver um problema de modelagem, basta identificar os valores numéricos do enunciado e operá-los diretamente, sem necessidade de definir variáveis. Errado. Definir a incógnita é etapa essencial.

Sem ela, você erra sistematicamente. A equação 3X menos nove igual a zero, tem como solução X igual a três. Certo, isolando x, 3X igual a nove.

Logo, X igual a nove dividido por três, que é três. O sistema formado por dois x mais quatro y igual a oito e x mais dois y igual a cinco é impossível. Certo, já resolvemos esse.

Constantes não batem, retas paralelas, sem solução. Na equação, x ao quadrado menos cinco x mais seis igual a zero, a soma das raízes é cinco e o produto é seis. Certo, girar direto.

Soma cinco, produto seis. A imagem de uma função é sempre igual ao seu contradomínio. Errado.

Imagem é subconjunto, pode ser menor que o contradomínio declarado. Ótimo, eu tô mandando bem isso agora. Tá craque.

Vamos fechar, então, três pontos pra levar. Ponto um: modelagem é traduzir o enunciado em linguagem matemática antes de calcular qualquer coisa. Ponto dois: no sistema linear, olha a proporção dos coeficientes antes de resolver.

Constantes diferentes é impossível, constantes iguais é indeterminado. Ponto três: no segundo grau, girar resolve soma e produto, sem precisar abrir Bhaskara. E no gráfico, o sinal de a decide tudo, mínimo ou máximo, crescente ou decrescente.

E o painel do carro segura tudo isso junto: velocímetro, frenagem e a multa crescendo, com o log fazendo o caminho de volta. Isso. Agora, pegadinha final.

A banca adora trocar imagem por contradomínio, trocar crescente por decrescente quando a base é menor que um ou o coeficiente é negativo, e trocar mínimo por máximo conforme o sinal de a na parábola. E em sistema, troca impossível por indeterminado ou o contrário. Exatamente.

Então, lembra do desafio lá do começo? Duas equações, sem fazer conta nenhuma. Agora eu sei, olho se os coeficientes são proporcionais e depois se as constantes concordam ou brigam.

Impossível ou indeterminado, na hora, sem tocar em fórmula. Aí, sim. Fórmula decorada só fecha o serviço.

Quem lê a estrutura primeiro é quem passa.