Taxas de Variação de Grandezas · Porcentagem

Preciso confessar uma burrada que eu fiz essa semana. Vi o preço da gasolina subir 20% numa semana e, na semana seguinte, caí 20% de novo. E eu jurei que tinha voltado no preço original.

Óbvio, né? Sobe vinte, desce vinte, zera. Não zera.

Pera, como assim "não zera"? Vinte menos vinte é zero. Isso é matemática básica.

É matemática básica. Só que você tá somando taxa. E taxa percentual sucessiva não se soma, ela se multiplica.

Então tá. Guarda essa resposta aí que eu quero ela até o fim do episódio. Guardada.

Mas, pra chegar lá, a gente precisa passar por um caminho, e ele começa com razão. Razão? Isso cai muito na prova?

Cai, e é a base de tudo. Razão é a comparação entre duas grandezas por divisão. A razão entre A e B se escreve A dividido por B ou A para B.

Exemplo: numa turma de trinta candidatos, dez são mulheres. A razão de mulheres para o total é dez dividido por trinta, que simplifica pra um para três. Uma mulher pra cada três candidatos.

Isso! E atenção, a ordem importa. Razão de A para B é diferente de razão de B para A.

Aham, faz sentido. Exatamente. Agora, proporção é a igualdade entre duas razões: A sobre B igual a C sobre D.

A propriedade fundamental diz que o produto dos meios é igual ao produto dos extremos. Isso é o cruzamento que você usa pra achar o valor desconhecido. Repete esse exemplo do quatro sexto igual a X nono, que eu quero anotar direitinho.

Se quatro sobre seis é igual a X sobre nove, então seis vezes X é igual a trinta e seis. Logo, X é igual a seis. Beleza, isso eu não erro mais.

Agora vem o pulo do gato pra regra de três: identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais. Deixa eu adivinhar. Mais hora trabalhada, mais quilômetro rodado.

Direta. Isso mesmo. Inversa é o contrário.

Mais agentes numa operação, menos tempo pra concluir. Faz total sentido. Quanto mais gente na abordagem, mais rápido libera a pista.

Esse é o passo zero de qualquer regra de três, simples ou composta. Errou o tipo de proporcionalidade, a conta inteira desmorona. E a composta, o que muda?

Envolve três ou mais grandezas. Você trata cada par separado. Se for direta com a incógnita, a razão fica no numerador.

Se inversa, você inverte, vai pro denominador. Exemplo redondo: quatro máquinas trabalhando seis horas por dia produzem quatrocentos e oitenta peças em cinco dias. Quantas peças seis máquinas produzem em três horas por dia em quatro dias?

Isso parece prova de concurso de verdade. É, X é igual a quatrocentos e oitenta vezes seis sobre quatro, vezes três sobre seis, vezes quatro sobre cinco. Isso dá quatrocentos e oitenta, vezes um vírgula cinco, vezes zero vírgula cinco, vezes zero vírgula oito, que é igual a duzentas e oitenta e oito peças.

Ok, isso eu vou ter que praticar de novo em casa. Só não esquece. Monta tabela, define direta ou inversa pra cada par e multiplica tudo numa equação só.

E essa história de taxa de variação que aparece junto com velocidade média? Taxa de variação mede o quanto uma grandeza varia em relação à outra. No fundo, é uma razão.

Taxa de variação é delta Y sobre delta X, variação de Y dividida pela variação de X. Em velocidade, é delta S sobre delta T, onde delta é variação, S é espaço percorrido e T é tempo. E ali tem uma pegadinha clássica, né?

Velocidade média não é média das velocidades. Não é. É espaço total dividido por tempo total.

Se carro faz cento e cinquenta quilômetros em duas horas e depois mais noventa quilômetros em uma hora, a velocidade média é cento e cinquenta mais noventa, dividido por dois mais um, que dá duzentos e quarenta sobre três, igual a oitenta quilômetros por hora. Beleza, isso resolve item do quadro que eu já vi rondando. E falando em porcentagem, agora a gente entra no ponto que mais decide prova.

Finalmente, manda. Porcentagem significa "por cem". P por cento de X é igual a P dividido por cem, vezes X.

E o jeito mais rápido de trabalhar com aumento e desconto é o fator multiplicador. Isso me lembra pedágio de BR. Como assim pedágio?

Cada praça cobra em cima do que o carro já tá carregando naquele momento, não em cima do valor lá no posto de partida. Perfeito, é exatamente essa a lógica. Aumento de taxa percentual é multiplicar por um mais P dividido por cem.

Desconto é multiplicar por um menos P dividido por cem. Aumento de vinte por cento, multiplica por um vírgula dois. Desconto de trinta por cento, multiplica por zero vírgula sete.

E pra reverter, achar o valor original? Divide pelo fator. Se depois de um aumento de vinte e cinco por cento, o preço é quinhentos, o original era quinhentos dividido por um vírgula vinte e cinco, que dá quatrocentos.

Show. Agora eu quero o troço da gasolina. Aí que mora a pegadinha mais cobrada do edital.

Variações percentuais sucessivas não se somam, se multiplicam. Pera aí, então minha conta de vinte menos vinte igual a zero, tá totalmente errada? Totalmente.

Você não soma vinte por cento com menos vinte por cento. Você multiplica os fatores: um vírgula dois vezes zero vírgula oito. E isso dá quanto?

Isso dá 0,96, ou seja, oitenta por cento. O preço final ficou quatro por cento mais barato que o original. Espera, sério?

Quatro por cento? Quatro por cento. Nunca volta a ser igual, porque aumento de A por cento, seguido de desconto de A por cento, sempre dá perda líquida.

A por cento ao quadrado, dividido por dez mil, é sempre um número positivo. Então, o pedágio de volta cobra em cima do valor que já baixou e, por isso, nunca fecha igual. Exato.

É a mesma lógica. Fator final é um mais A, vezes um mais B, menos um, onde A e B são as taxas em decimal, podendo ser negativas pro desconto. Ok.

E como calcula a variação percentual entre dois valores direto, sem passar pelo fator? Variação percentual é valor final, menos valor inicial, dividido pelo valor inicial, vezes cem. E o denominador é sempre o valor inicial, nunca o final.

Exemplo: preço passou de oitenta pra cem. Variação é cem menos oitenta, dividido por oitenta, vezes cem, que dá vinte e cinco por cento de aumento. E se for o caminho contrário, de cem pra oitenta?

Aí é oitenta menos cem, dividido por cem, vezes cem, que dá menos vinte por cento, queda de vinte por cento. Interessante que não é o mesmo número invertido de sinal. Isso mesmo, a base muda, e é aí que muita gente escorrega.

Deixa eu testar você agora. Eu leio a frase, você me dá certo ou errado na hora. Pode mandar.

A razão entre quinze e quarenta e cinco é igual a um sobre três. Certo. Quinze dividido por quarenta e cinco é um sobre três.

Razão é divisão simples do primeiro pelo segundo termo. Um veículo que percorre cento e cinquenta quilômetros em duas horas e, depois, mais noventa quilômetros em uma hora, tem velocidade média total de oitenta quilômetros por hora. Certo.

Espaço total sobre tempo total, duzentos e quarenta dividido por três é oitenta. Não é a média das velocidades separadas. Um produto teve o preço aumentado em dez por cento e, no mês seguinte, reduzido em dez por cento.

Ao final, o preço voltou ao valor original. Errado. 1,1 vezes zero vírgula nove é 0,99.

O preço caiu um por cento em relação ao original, não voltou ao mesmo valor. Um produto custava cento e vinte reais e passou a custar cento e cinquenta reais. A variação percentual foi de vinte por cento.

Errado. Variação é cento e cinquenta menos cento e vinte, dividido por cento e vinte, vezes cem, que dá trinta dividido por cento e vinte, vezes cem, igual a vinte e cinco por cento, não vinte. Essa eu quase caí, porque bateu o olho no cento e cinquenta primeiro.

É exatamente aí que a banca pega, usar o valor final como base. Time de fechar essa aula. Três coisas que você leva daqui.

Primeiro: aumento e desconto percentual usam fator multiplicador, um mais ou um menos a taxa dividida por cem. É mais rápido e evite erro. Segundo: variações sucessivas nunca se somam, sempre se multiplicam os fatores, e aumento seguido de desconto, igual sempre dá perda.

Terceiro: na variação percentual entre dois valores, o denominador é sempre o valor inicial, o ponto de partida, nunca o de chegada. E voltando pra minha gasolina lá do começo, o preço final ficou quanto em relação ao original mesmo? Quatro por cento mais barato, nunca igual.

Quatro por cento? Então minha conta de cabeça tava furada desde o início. Furada .

E é exatamente essa a pegadinha que a banca coloca. Trocar variação em relação ao valor inicial por variação em relação ao valor final ou fazer você somar taxa em vez de multiplicar fator... Lembrete final para quem tá ouvindo: base é sempre o ponto de onde saiu, nunca onde chegou.

E nunca some taxa sucessiva. Multiplica os fatores, um mais a taxa, sempre.