Taxas de variação e porcentagem

Preciso confessar uma burrada que eu fiz essa semana. Vi o preço da gasolina subir vinte por cento numa semana, e na semana seguinte cair vinte por cento de novo. E eu jurei que tinha voltado no preço original.

Óbvio, né? Sobe vinte, desce vinte, zera. Não zera.

Pera, como assim não zera? Vinte menos vinte é zero, isso é matemática básica. É matemática básica, só que você tá somando taxa, e taxa percentual sucessiva não se soma.

Ela se multiplica. Então tá, guarda essa resposta aí que eu quero ela até o fim do episódio. Guardada.

Mas pra chegar lá a gente precisa passar por um caminho, e ele começa com razão. Razão. Isso cai muito na prova?

Cai, e é a base de tudo. Razão é a comparação entre duas grandezas por divisão. A razão entre A e B se escreve A dividido por B, ou A para B.

Exemplo: numa turma de 30 candidatos, 10 são mulheres. A razão de mulheres para o total é 10 dividido por 30, que simplifica pra 1 para 3. Uma mulher pra cada três candidatos.

Isso. E atenção: a ordem importa. Razão de A para B é diferente de razão de B para A.

Aham. Faz sentido. Exatamente.

Agora, proporção é a igualdade entre duas razões: A sobre B igual a C sobre D. A propriedade fundamental diz que o produto dos meios é igual ao produto dos extremos. Isso é o cruzamento que você usa pra achar o valor desconhecido.

Repete esse exemplo do quatro sexto igual a X nono, que eu quero anotar direitinho. Se 4 sobre 6 é igual a X sobre 9, então 6 vezes X é igual a 36, logo X é igual a 6. Beleza, isso eu não erro mais.

Agora vem o pulo do gato pra regra de três: identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais. Deixa eu adivinhar: mais hora trabalhada, mais quilômetro rodado. Direta.

Isso mesmo. E inversa é o contrário: mais agentes numa operação, menos tempo pra concluir. Faz total sentido.

Quanto mais gente na abordagem, mais rápido libera a pista. Esse é o passo zero de qualquer regra de três, simples ou composta. Errou o tipo de proporcionalidade, a conta inteira desmorona.

E a composta, o que muda? Envolve três ou mais grandezas. Você trata cada par separado: se for direta com a incógnita, a razão fica no numerador; se inversa, você inverte, vai pro denominador.

Exemplo redondo: 4 máquinas trabalhando 6 horas por dia produzem 480 peças em cinco dias. Quantas peças 6 máquinas produzem em 3 horas por dia em quatro dias? Isso parece prova de concurso de verdade.

É. X é igual a 480 vezes 6 sobre 4, vezes 3 sobre 6, vezes 4 sobre 5. Isso dá 480 vezes 1,5, vezes 0,5, vezes 0,8, que é igual a 288 peças.

Ok, isso eu vou ter que praticar de novo em casa. Só não esquece: monta a tabela, define direta ou inversa pra cada par, e multiplica tudo numa equação só. E essa história de taxa de variação que aparece junto com velocidade média?

Taxa de variação mede o quanto uma grandeza varia em relação a outra — no fundo, é uma razão. Taxa de variação é delta Y sobre delta X, variação de Y dividida pela variação de X. Em velocidade, é delta S sobre delta T, onde delta é variação, S é espaço percorrido e T é tempo.

E ali tem uma pegadinha clássica, né? Velocidade média não é média das velocidades. Não é.

É espaço total dividido por tempo total. Se um carro faz 150 km em 2 horas e depois mais 90 km em 1 hora, a velocidade média é 150 mais 90, dividido por 2 mais 1, que dá 240 sobre 3, igual a 80 km por hora. Beleza, isso resolve um item do quadro que eu já vi rondando.

E falando em porcentagem, agora a gente entra no ponto que mais decide prova. Finalmente. Manda.

Porcentagem significa por cem. P por cento de X é igual a P dividido por 100, vezes X. E o jeito mais rápido de trabalhar com aumento e desconto é o fator multiplicador.

Isso me lembra pedágio de BR. Como assim, pedágio? Cada praça cobra em cima do que o carro já tá carregando naquele momento, não em cima do valor lá no posto de partida.

Perfeito, é exatamente essa a lógica. Aumento de taxa percentual é multiplicar por um mais P dividido por cem. Desconto é multiplicar por um menos P dividido por cem.

Aumento de vinte por cento multiplica por 1,2. Desconto de trinta por cento multiplica por 0,7. E pra reverter, achar o valor original?

Divide pelo fator. Se depois de um aumento de vinte e cinco por cento o preço é 500, o original era 500 dividido por 1,25, que dá 400. Show.

Agora eu quero o troço da gasolina. Aí que mora a pegadinha mais cobrada do edital: variações percentuais sucessivas não se somam, se multiplicam. Pera aí, então minha conta de vinte menos vinte igual a zero tá totalmente errada?

Totalmente. Você não soma vinte por cento com menos vinte por cento. Você multiplica os fatores: 1,2 vezes 0,8.

E isso dá quanto? Isso dá 0,96. Ou seja, o preço final ficou quatro por cento mais barato que o original.

Espera, sério? Quatro por cento? Quatro por cento.

Nunca volta a ser igual, porque aumento de A por cento seguido de desconto de A por cento sempre dá perda líquida — a por cento ao quadrado, dividido por dez mil, é sempre um número positivo. Então o pedágio de volta cobra em cima do valor que já baixou, e por isso nunca fecha igual. Exato.

É a mesma lógica: fator final é um mais A, vezes um mais B, menos um, onde A e B são as taxas em decimal, podendo ser negativas pro desconto. Ok, e como calcula a variação percentual entre dois valores direto, sem passar pelo fator? Variação percentual é valor final menos valor inicial, dividido pelo valor inicial, vezes 100.

E o denominador é sempre o valor inicial, nunca o final. Exemplo: preço passou de 80 pra 100. Variação é 100 menos 80, dividido por 80, vezes 100, que dá vinte e cinco por cento de aumento.

E se for o caminho contrário, de 100 pra 80? Aí é 80 menos 100, dividido por 100, vezes 100, que dá menos vinte por cento. Queda de vinte por cento.

Interessante que não é o mesmo número invertido de sinal. Isso mesmo. A base muda, e é aí que muita gente escorrega.

Deixa eu testar você agora. Eu leio a frase, você me dá certo ou errado na hora. Pode mandar.

A razão entre 15 e 45 é igual a 1 sobre 3. Certo. 15 dividido por 45 é 1 sobre 3, razão é divisão simples do primeiro pelo segundo termo.

Um veículo que percorre 150 km em 2 horas e depois mais 90 km em 1 hora tem velocidade média total de 80 km por hora. Certo. Espaço total sobre tempo total: 240 dividido por 3 é 80.

Não é a média das velocidades separadas. Um produto teve o preço aumentado em dez por cento e, no mês seguinte, reduzido em dez por cento. Ao final, o preço voltou ao valor original.

Errado. 1,1 vezes 0,9 é 0,99. O preço caiu um por cento em relação ao original, não voltou ao mesmo valor.

Um produto custava 120 reais e passou a custar 150 reais. A variação percentual foi de vinte por cento. Errado.

Variação é 150 menos 120, dividido por 120, vezes 100, que dá trinta dividido por 120, vezes 100, igual a vinte e cinco por cento, não vinte. Essa eu quase caí, porque bateu o olho no 150 primeiro. É exatamente aí que a banca pega: usar o valor final como base.

Time de fechar essa aula. Três coisas que você leva daqui. Primeiro: aumento e desconto percentual usam fator multiplicador, um mais ou um menos a taxa dividida por cem.

É mais rápido e evita erro. Segundo: variações sucessivas nunca se somam, sempre se multiplicam os fatores. E aumento seguido de desconto igual sempre dá perda.

Terceiro: na variação percentual entre dois valores, o denominador é sempre o valor inicial, o ponto de partida, nunca o de chegada. E voltando pra minha gasolina lá do começo — o preço final ficou quanto em relação ao original mesmo? Quatro por cento mais barato.

Nunca igual. Quatro por cento? Então minha conta de cabeça tava furada desde o início.

Furada. E é exatamente essa a pegadinha que a banca coloca: trocar variação em relação ao valor inicial por variação em relação ao valor final, ou fazer você somar taxa em vez de multiplicar fator. Lembrete final pra quem tá ouvindo: base é sempre o ponto de onde saiu, nunca onde chegou.

E nunca some taxa sucessiva. Multiplica os fatores, um mais a taxa, sempre.