Sequências, contagem, probabilidade e estatística

Imagina a cena: você tá numa blitz, e o comandante pede pra numerar as viaturas em fila. Primeira é um, segunda é quatro, terceira é sete, quarta é dez. Tá, e daí?

Eu conto uma por uma até chegar na que ele quer. Pode contar. Ou pode olhar o intervalo entre elas e já saber a próxima sem contar viatura nenhuma.

Peraí... quatro menos um é três, sete menos quatro é três, dez menos sete é três. Sempre três. Isso.

E é exatamente esse instinto — achar a regra antes de contar — que a Cebraspe cobra em sequência, em contagem, em probabilidade e até em estatística. Então hoje não é só decorar fórmula. É aprender a parar um segundo e perguntar: que padrão rege isso aqui?

Isso separa quem acerta rápido de quem fica contando viatura até o fim do turno. Bora. Onde a gente começa?

Pela base: sequência é uma lista ordenada com uma lei de formação, uma regra que liga cada termo ao anterior. O trabalho é achar essa regra e aplicar. E como eu descubro qual regra é?

Lista as diferenças entre termos vizinhos. Se essas diferenças forem sempre iguais, é PA — Progressão Aritmética. Se não forem, calcula a diferença das diferenças.

E se essa segunda diferença for constante? Aí é sequência quadrática. E se, em vez de diferença, existir uma razão constante entre os termos — uma divisão que se repete — isso é PG, Progressão Geométrica.

Pera aí, como assim razão em vez de diferença? Eu olho pra um, dois, quatro, oito e já quero subtrair. E é aí que a banca pega muita gente.

Um, dois, quatro, oito cresce, mas a diferença entre eles não é constante — um, dois, quatro. Só a razão é: sempre multiplica por dois. Ah, então antes de subtrair eu tenho que testar se divide certinho.

Exatamente. Regra de prova: calcule a razão, a divisão, antes de calcular a diferença, a subtração. Isso evita confundir PA com PG.

Beleza, vamos pra PA então. Quero a fórmula. Na PA, cada termo é o anterior mais uma constante chamada razão, r.

A fórmula do termo geral é: aene é igual a aum mais, abre parêntese, ene menos um, fecha parêntese, vezes r. E a soma dos termos? Sene é igual a ene vezes, abre parêntese, aum mais aene, fecha parêntese, dividido por dois.

Na prática, é número de termos vezes a média entre o primeiro e o último. Me dá um exemplo redondo pra eu sentir isso. PA dois, cinco, oito, onze, catorze.

Razão três. O décimo termo: dois mais nove vezes três, vinte e nove. A soma dos cinco termos: cinco vezes, abre parêntese, dois mais catorze, fecha parêntese, dividido por dois, que dá quarenta.

E dá pra conferir sem refazer a conta toda? Dá. Em qualquer PA, o termo do meio é a média aritmética dos extremos.

Se bater, sua conta tá certa. Anotado. Vem a PG?

Pensa na nossa escala de plantão na BR: os postos ao longo da estrada. Numa PA, o intervalo entre um posto e outro é sempre o mesmo número de quilômetros somado. E na PG?

Na PG, o intervalo não é somado, é multiplicado. Cada termo é o anterior vezes uma razão q. A fórmula: aene é igual a aum vezes q elevado a, abre parêntese, ene menos um, fecha parêntese.

Exemplo redondo de novo? PG dois, seis, dezoito, cinquenta e quatro. Razão três.

O quinto termo: dois vezes três elevado a quatro, que é dois vezes oitenta e um, cento e sessenta e dois. E pra conferir se é mesmo PG? O quadrado de um termo do meio é igual ao produto dos vizinhos.

Testa isso e você sabe se a sequência é PG de verdade. Show. Muda de posto, então: contagem.

Aqui entra o princípio fundamental da contagem: se uma decisão pode ser tomada de m maneiras, e outra de n maneiras, o total é m vezes n. Generaliza pra quantas decisões tiver. E quando eu preciso arrumar tudo em fila?

Permutação simples: Pene igual a n fatorial. Arranjo é quando eu escolho p entre n elementos e a ordem importa: fórmula n fatorial dividido por, abre parêntese, n menos p, fecha parêntese, fatorial. E combinação?

Combinação é escolher p entre n sem se importar com ordem. n fatorial dividido por, abre parêntese, p fatorial vezes, abre parêntese, n menos p, fecha parêntese, fatorial, fecha parêntese. Vou fazer papel de advogada do diabo aqui: pra que eu preciso saber se é arranjo ou combinação? No fim as pessoas escolhidas são as mesmas.

Não são, não. Lembra da nossa escala: escolher quem fica em cada posto, com função definida, é diferente de só escolher quem entra na equipe. Pega esse item de prova: de um grupo de cinco policiais, quantas comissões de três membros dá pra formar?

A banca marcou sessenta como certo. E não é? Comissão não tem hierarquia, ninguém é presidente nem secretário.

É combinação: cinco fatorial dividido por três fatorial vezes dois fatorial, que dá dez. Sessenta seria o arranjo, se a ordem importasse. Ah, então marcar sessenta é confundir escolher um grupo com organizar um grupo em cargos.

Isso. A palavra que salva você é simples: cargo específico, tipo presidente e vice, pede arranjo. Grupo sem hierarquia pede combinação.

Guardado. E falando em escolher... isso puxa pra probabilidade, né? Direto.

Probabilidade de um evento A é o número de casos favoráveis dividido pelo número de casos possíveis, igualmente prováveis. Sempre entre zero e um. Me dá um exemplo com números de verdade.

Urna com quatro bolas vermelhas e seis azuis. P de vermelha é quatro décimos, que simplifica pra dois quintos, zero vírgula quatro. E se eu quiser a chance de não sair vermelha?

Complementar: P de Acomplementar é igual a um menos P de A. Um menos zero vírgula quatro, zero vírgula seis. Guarda esse macete, porque toda vez que aparecer 'pelo menos um' na prova, é o complementar que resolve.

Como assim? Eu não posso só multiplicar a chance pelo número de tentativas? Não pode, é a armadilha clássica.

O caminho certo: primeiro acha a chance de não acontecer nenhuma vez — essa probabilidade simples elevada ao número de tentativas. Depois faz um menos esse valor, e pronto, chegou no 'pelo menos um'. Beleza, isso eu treino com calma depois.

Última parada da escala: estatística. Média é soma de tudo dividida pela quantidade. Mediana é o valor central depois de ordenar os dados.

Moda é o valor que mais aparece. E qual dessas a banca mais adora confundir? Mediana e média.

A mediana não é afetada por um valor extremo. A média é. Sério?

A mediana não muda nem se aparecer um número gigante no meio dos dados? Não muda. A MEDIANA fica parada no lugar dela, olhando só a posição.

Quem sofre com o valor extremo é a média, porque ela soma tudo. MEDIANA resistente, média fraca. Anotado três vezes na cabeça agora.

Bom. Agora bora pro quadro. Primeira: na sequência dois, cinco, dez, dezessete, vinte e seis, o próximo termo é trinta e sete.

Certo. As diferenças de primeira ordem são três, cinco, sete, nove, onze — crescem de dois em dois. Vinte e seis mais onze é trinta e sete.

Segunda: numa PA de primeiro termo três e razão quatro, a soma dos dez primeiros termos é duzentos e dez. Certo. O décimo termo é três mais nove vezes quatro, trinta e nove.

A soma é dez vezes, abre parêntese, três mais trinta e nove, fecha parêntese, dividido por dois, duzentos e dez. Terceira: na PG quatro, doze, trinta e seis, cento e oito, a razão é quatro. Errado.

A razão é doze dividido por quatro, três, não quatro. A banca troca o primeiro termo pela razão de propósito. Quarta: de um grupo de cinco policiais, o número de comissões de três membros é sessenta.

Errado. Comissão é combinação, dá dez. Sessenta é o arranjo, que não se aplica aqui.

Quinta: ao lançar um dado honesto, a probabilidade de sair número par ou múltiplo de três é dois terços. Certo. Pares são dois, quatro, seis.

Múltiplos de três são três e seis. A união dá quatro casos em seis, que simplifica pra dois terços. Sexta e última: para o conjunto dois, três, três, cinco, sete, dez, quinze, a mediana é igual à média aritmética.

Errado. A mediana é cinco, o valor central dos sete números. A média é quarenta e cinco dividido por sete, aproximadamente seis vírgula quatro.

Diferentes. Fechou o quadro. E a nossa fila de viaturas lá do começo, já dá pra resolver?

Já. Um, quatro, sete, dez, razão três. O próximo é treze, sem contar viatura nenhuma.

Bonito. Bora pros três pontos pra levar então. Primeiro: toda sequência tem uma lei de formação.

Diferença constante é PA, razão constante por divisão é PG, segunda diferença constante é quadrática. Segundo: contagem tem dois nomes que a banca adora trocar. Se a ordem importa, é arranjo ou permutação.

Se não importa, é combinação — cargo específico pede ordem, grupo sem hierarquia não pede. Terceiro: em estatística, a mediana é a robusta, resiste a valor extremo. A média é a sensível, se distorce com ele.

E a pegadinha final do episódio é justamente essa, né? É. Se a Cebraspe afirmar que a média é a melhor medida de tendência central em qualquer situação, o item é errado.

Quem resiste a valor extremo é a mediana, não a média. Então da próxima vez que eu tiver que numerar alguma coisa em fila, primeiro eu paro e pergunto qual é a regra. Isso.

Ache o padrão antes de contar. Foi assim com a viatura, foi assim com a comissão, foi assim com a mediana.