Sequências · Contagem, Probabilidade e Estatística

Imagina a cena: você tá numa blitz e o comandante pede pra numerar as viaturas em fila. Primeira é um, segunda é quatro, terceira é sete, quarta é dez. Tá, e daí?

Eu conto uma por uma até chegar na que ele quer. Pode contar. Ou pode olhar o intervalo entre elas e já saber a próxima sem contar viatura nenhuma.

Peraí. Quatro menos um é três, sete menos quatro é três, dez menos sete é três. Sempre três.

Isso! E é exatamente esse instinto, achar a regra antes de contar, que a Cebraspe cobra em sequência, em contagem, em probabilidade e até em estatística. Então hoje não é só decorar fórmula.

É aprender a parar um segundo e perguntar: que padrão rege isso aqui? Isso separa quem acerta rápido de quem fica contando viatura até o fim do turno. Bora.

Onde a gente começa? Pela base. Sequência é uma lista ordenada com uma lei de formação, uma regra que liga cada termo ao anterior.

O trabalho é achar essa regra e aplicar. E como eu descubro qual regra é? Lista as diferenças entre termos vizinhos.

Se essas diferenças forem sempre iguais, é PA, progressão aritmética. Se não forem, calcula a diferença das diferenças. E se essa segunda diferença for constante?

Aí é sequência quadrática. E se em vez de diferença, existir uma razão constante entre os termos, uma divisão que se repete, isso é PG, progressão geométrica. Peraí, como assim razão em vez de diferença?

Eu olho pra um, dois, quatro, oito e já quero subtrair. E é aí que a banca pega muita gente. Um, dois, quatro, oito cresce, mas a diferença entre eles não é constante.

Um, dois, quatro. Sua razão é, sempre multiplica por dois. Ah, então antes de subtrair, eu tenho que testar se divide certinho.

Exatamente. Regra de prova. Calcule a razão, a divisão, antes de calcular a diferença, a subtração.

Isso evita confundir PA com PG. Beleza, vamos pra PA, então. Quero a fórmula.

Na PA, cada termo é o anterior, mais uma constante chamada razão, R. A fórmula do termo geral é An é igual a A1 mais, abre parêntese, N menos um, fecha parêntese, vezes R. E a soma dos termos?

SN é igual a N vezes, abre parêntese, A1 mais AN, fecha parêntese, dividido por dois. Na prática, é número de termos vezes a média entre o primeiro e o último. Me dá o exemplo redondo para eu sentir isso.

PA dois, cinco, oito, onze, catorze. Razão três. O décimo termo: dois mais nove vezes três, vinte e nove.

A soma dos cinco termos: cinco vezes, abre parêntese, dois mais catorze, fecha parêntese, dividido por dois, que dá quarenta. E dá pra conferir sem refazer a conta toda? Dá.

Em qualquer PA, o termo do meio é a média aritmética dos extremos. Se bater, sua conta tá certa. Anotado.

Vem a PG? Pensa na nossa escala de plantão na BR, os postos ao longo da estrada. Numa PA, o intervalo entre um posto e outro é sempre o mesmo número de quilômetros somado.

E na PG? Na PG, o intervalo não é somado, é multiplicado. Cada termo é o anterior vezes uma razão Q.

A fórmula AN é igual a A1, vezes Q, elevado a, abre parêntese, N, menos um, fecha parêntese. Exemplo redondo de novo? PG dois, seis, dezoito, cinquenta e quatro.

Razão três. O quinto termo: dois vezes três elevado a quatro, que é dois vezes oitenta e um, cento e sessenta e dois. E pra conferir se é mesmo PG?

O quadrado de um termo do meio é igual ao produto dos vizinhos. Testa isso e você sabe se a sequência é PG de verdade. Show.

Muda de posto, então. Contagem. Aqui entra o princípio fundamental da contagem.

Se uma decisão pode ser tomada de M maneiras e outra de N maneiras, o total é M vezes N. Generaliza pra quantas decisões tiver. E quando eu preciso arrumar tudo em fila?

Permutação simples. PN igual AN fatorial. Arranjo é quando eu escolho P entre N elementos e a ordem importa.

Fórmula: N fatorial dividido por, abre parêntese, N menos P, fecha parêntese, fatorial. E combinação? Combinação é escolher P entre N sem se importar com ordem.

N fatorial dividido por, abre parêntese, P fatorial, vezes, abre parêntese, N menos P, fecha parêntese, fatorial, fecha parêntese. Vou fazer papel de advogada do diabo aqui. Pra que eu preciso saber se é arranjo ou combinação?

No fim, as pessoas escolhidas são as mesmas. Não são, não. Lembra da nossa escala?

Escolher quem fica em cada posto, com função definida, é diferente de só escolher quem entra na equipe. Pega esse item de prova. De um grupo de cinco policiais, quantas comissões de três membros dá para formar?

A banca marcou sessenta como certo. E não é? Comissão não tem hierarquia.

Ninguém é presidente, nem secretário. É combinação. Cinco fatorial, dividido por três fatorial, vezes dois fatorial, que dá dez.

Sessenta seria o arranjo, se a ordem importasse. Ah, então marcar sessenta é confundir escolher um grupo, com organizar um grupo em cargos. Isso.

A palavra que salva você é simples. Cargo específico, tipo presidente, vice, pede arranjo. Grupo sem hierarquia, pede combinação.

Guardado. E falando em escolher, isso puxa pra probabilidade, né? Direto.

Probabilidade de o evento A é o número de casos favoráveis dividido pelo número de casos possíveis igualmente prováveis, sempre entre zero e um. Me dá exemplo com números de verdade? Urna com quatro bolas vermelhas e seis azuis.

P de vermelha é quatro décimos, que simplifica pra dois quintos, 0,4. E se eu quiser a chance de não sair vermelha? Complementar.

P de A complementar é igual a um menos P de A. Um menos 0,4, 0,6. Guarda esse macete, porque toda vez que aparecer pelo menos um na prova, é o complementar que resolve.

Como assim? Eu não posso só multiplicar a chance pelo número de tentativas? Não pode, é armadilha clássica.

O caminho certo: primeiro acha a chance de não acontecer nenhuma vez. Essa probabilidade simples, elevada ao número de tentativas. Depois, faz um menos esse valor e pronto, chegou no "pelo menos" um.

Beleza, isso eu treino com calma depois. Última parada da escala: estatística. Média é soma de tudo dividida pela quantidade.

Mediana é o valor central depois de ordenar os dados. Moda é o valor que mais aparece. E qual dessas a banca mais adora confundir?

Mediana e média. A mediana não é afetada por um valor extremo, a média é. Sério?

A mediana não muda nem se aparecer um número gigante no meio dos dados? Não muda. A mediana fica parada no lugar dela, olhando só a posição.

Quem sofre com o valor extremo é a média, porque ela soma tudo. Mediana resistente, média fraca. Anotado três vezes na cabeça agora.

Bom, agora bora pro quadro. Primeira: na sequência dois, cinco, dez, dezessete, vinte e seis, o próximo termo é trinta e sete. Certo, as diferenças de primeira ordem são três, cinco, sete, nove, onze.

Crescem de dois em dois. Vinte e seis mais onze é trinta e sete. Segunda: numa PA de primeiro termo três e razão quatro, a soma dos dez primeiros termos é duzentos e dez.

Certo, o décimo termo é três mais nove vezes quatro, trinta e nove. A soma é dez vezes. Abre parêntese, três mais trinta e nove, fecha parêntese, dividido por dois, duzentos e dez.

Terceira: na PG quatro, doze, trinta e seis, cento e oito, a razão é quatro. Errado. A razão é doze dividido por quatro, três, não quatro.

A banca troca o primeiro termo pela razão de propósito. Quarta: de um grupo de cinco policiais, o número de comissões de três membros é sessenta. Errado.

Comissão é combinação, dá dez. Sessenta é o arranjo, que não se aplica aqui. Quinta: ao lançar um dado honesto, a probabilidade de sair número par ou múltiplo de três é dois terços.

Certo, pares são dois, quatro, seis. Múltiplos de três são três e seis. A união dá quatro casos em seis, que simplifica para dois terços.

Sexta e última: para o conjunto dois, três, três, cinco, sete, dez, quinze, a mediana é igual à média aritmética. Errado. A mediana é cinco, o valor central dos sete números.

A média é quarenta e cinco dividido por sete, aproximadamente seis vírgula quatro. Diferentes. Fechou o quadro.

E a nossa fila de viaturas lá do começo, já dá para resolver? Já. Um, quatro, sete, dez, razão três.

O próximo é treze, sem contar viatura nenhuma. Bonito. Bora pros três pontos pra levar, então.

Primeiro: toda sequência tem uma lei de formação. Diferença constante é PA. Razão constante por divisão é PG.

Segunda diferença constante é quadrática. Segundo: contagem tem dois nomes que a banca adora trocar. Se a ordem importa, é arranjo ou permutação.

Se não importa, é combinação. Cargo específico pede ordem. Grupo sem hierarquia não pede.

Terceiro: em estatística, a mediana é a robusta, resiste a valor extremo. A média é a sensível, se distorce com ele. E a pegadinha final do episódio é justamente essa, né?

É, se a Cebraspe afirmar que a média é a melhor medida de tendência central em qualquer situação, o item é errado. Quem resiste a valor extremo é a mediana, não a média. Então, da próxima vez que eu tiver que numerar alguma coisa em fila, primeiro eu paro e pergunto qual é a regra.

Isso, acho padrão antes de contar. Foi assim com a viatura, foi assim com a comissão, foi assim com a mediana.